Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto en el SAT
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En el SAT, a veces encontrarás preguntas con ecuaciones que incluyen valor absoluto. Por lo general, no son los problemas más difíciles, pero pueden causar errores si olvidas cómo funciona el valor absoluto. Un simple error de signo o pasar por alto un caso puede costarte un punto fácil.
En esta sección repasaremos los conceptos básicos de las ecuaciones con valor absoluto y algunos consejos sencillos para resolverlas con seguridad.
Resumen rápido
El valor absoluto representa la distancia desde el 0 en la recta numérica.
Como la distancia nunca puede ser negativa, el valor absoluto siempre es no negativo.
Por ejemplo, si tomamos un parque como punto de referencia (0), estar a 5 km al oeste del parque sigue siendo una distancia de 5 km. No decimos “a -5 km de distancia”. La dirección puede ser negativa, pero la distancia siempre es positiva.
Esta idea se expresa usando barras verticales:
\(|8| = 8\), \(|-8| = 8\)
Ambos valores están a 8 unidades de distancia del 0.
Las ecuaciones con valor absoluto pueden clasificarse en dos tipos principales:
- Valor absoluto simple
- Expresiones con valor absoluto que contienen variables
Simple Absolute Value
Cuando el valor absoluto contiene solo un número, el resultado representa simplemente la distancia desde el 0. Por lo tanto, el resultado siempre es no negativo, sin importar el signo original.
Ejemplo: \(|-3| = 3\), \(|12| = 12\)
Aquí, \(-3\) y \(12\) están a \(3\) y \(12\) unidades de distancia del 0, respectivamente. No es necesario resolver nada más, ya que no hay ninguna variable involucrada.
Expresiones Con Valor Absoluto Que Contienen Variables
Cuando una variable aparece dentro de las barras de valor absoluto, debemos considerar dos posibles casos. Esto se debe a que el valor absoluto representa una distancia, y la distancia siempre es positiva.
Por ejemplo, considera la ecuación:
\(|x – 4| = 8\)
La expresión dentro del valor absoluto, \(x – 4\), puede ser \(8\) o \(-8\) ya que ambos valores están a 8 unidades de distancia del 0. Para cumplir esta condición, \(x\) puede ser \(-4\) o \(12\).
- Caso 1: \(x = -4\)… \(|-4 – 4| = |-8| = 8\)
- Caso 2: \(x = 12\) … \(|12 – 4| = |8| = 8\)
¿Qué es el valor absoluto?
El valor absoluto de un número indica qué tan lejos está ese número del cero en la recta numérica. Se escribe colocando dos barras verticales alrededor del número. Por ejemplo:
\(|6|=6\)
Como el valor absoluto representa una distancia, el resultado nunca es negativo.
Por eso, \(|-10| = 10\), al igual que \(|10|=10\), ya que ambos están a 10 unidades de distancia del cero.
Entender el valor absoluto como distancia desde el 0
Piensa en el valor absoluto como una medida de distancia. Por ejemplo, imagina un parque central y otros dos parques: uno a 10 km al oeste y otro a 10 km al este.
No dirías: “Un parque está a -10 km y el otro a 10 km de distancia.” Eso suena extraño, porque la distancia no puede ser negativa. En su lugar, dirías: “Ambos parques están a 10 km del parque central.”
Esa distancia compartida de 10 km es precisamente lo que representa el valor absoluto. Aunque las direcciones sean opuestas, la distancia es la misma.
Cuando el valor dentro de las barras es positivo
Si el número dentro del valor absoluto ya es positivo, las barras no cambian nada. Simplemente puedes eliminarlas.
\(| 10 | = 10\)
When the Value Inside the Absolute Bars Is Negative
Si el número dentro del valor absoluto es negativo, el valor absoluto lo convierte en positivo multiplicándolo por \(-1\).
\(|-10| = -1(-10) = 10\)
Ecuaciones con valor absoluto
Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que contienen expresiones dentro de las barras de valor absoluto. Resolverlas consiste en aprender a manejar esas barras, ya que el valor absoluto siempre mide una distancia desde el cero y, por lo tanto, nunca puede ser negativo.
Para resolver correctamente este tipo de ecuaciones, es importante saber cómo “eliminar” las barras de forma adecuada. En general, existen dos patrones principales que debes conocer:
Cómo eliminar las barras de valor absoluto
Caso 1: \(|x| = a\)
Por definición, el valor absoluto mide la distancia desde el cero, por lo que siempre existen dos posibilidades:
- \(x = a\)
- \(x = -a\)
Por ejemplo: \(|x| = 5\) => \(x = 5\) o \(x = -5\)
Caso 2: \(|x – b| = c\)
En este caso, la expresión dentro de las barras puede ser positiva o negativa. Por lo tanto, establecemos dos ecuaciones:
- \(x – b = c\)
- \(x – b = -c\)
Luego resolvemos cada una por separado.
Ejemplo:
\(|x – 3| = 7\)
Esto nos lleva a los siguientes casos:
- \(x – 3 = 7\) => \(x = 10\)
- \(x – 3 = 7\) => \(x = -4\)
Por lo tanto, las soluciones son: \(x = 10\) and \(x = -4\).
Veamos cómo resolver cada tipo de ecuación.
Caso 1 : \(|x|= a\)
Cuando una ecuación con valor absoluto tiene solo una variable dentro de las barras, esa variable puede tomar dos valores posibles, uno positivo y otro negativo. Esto ocurre porque el valor absoluto mide la distancia desde el cero, y en ambos sentidos la distancia es la misma una vez que se eliminan las barras. Por ejemplo:
\(|x|= 17\)
En este caso, \(x\) puede ser -17 o 17, ya que ambos números están exactamente a 17 unidades de distancia del cero.
Caso 2 :\(|x – b| = c\)
Este tipo de ecuación con valor absoluto es un poco más complicada, porque la expresión dentro de las barras incluye una variable y una constante.
Para resolverla, debes considerar dos casos: uno en el que la expresión dentro de las barras sea no negativa, y otro en el que sea negativa.
Esto se debe a que, si la parte interior es negativa, al eliminar las barras debes multiplicar por -1.
Veamos cómo funciona en el siguiente ejemplo:
\(|x – 2| = 8\)
Caso 1: \(x \geq 2\)
Si la parte interior es positiva o igual a cero, simplemente eliminamos las barras:
\(x – 2 = 8\)
\(x = 10\)
Case 2: \(x < 2\)
Si la parte interior es negativa, multiplicamos toda la expresión por \(-1\).
\(|x – 2| = 8\)
\(-(x – 2) = 8\)
\(-x + 2 = 8\)
\(x = -6\)
Por lo tanto, la ecuación \(|x – 2| = 8\) tiene dos soluciones: \(x = 10\) y \(x = -6\).
Patrón y estrategia
Caso 1 (Cálculo simple)
Explicación
Dado que la expresión de valor absoluto incluye una variable, debemos considerar dos casos posibles: \(z < 50\) and \(z > 50\).
Si \(z < 50\), la expresión dentro de las barras es positiva, por lo que podemos eliminar las barras directamente.
\(50 – z = 18\)
\(-z = -32\) => \(z = 32\)
Si \(z > 50\), entonces \((50 – z) < 0\). Para resolverlo, multiplicamos el interior por \(-1\)
\(|50 – z| = 18\)
Como \(50 – z\) da un valor negativo, multiplicamos el resultado por \(-1\).
\(-(50 – z) = 18\)
\(-50 + z = 18\)
\(z = 68\)
Por lo tanto, las soluciones son \(z = 32\) or \(z = 68\).
Caso 2 (Valor absoluto y función)
Explicación
Este tipo de ejercicio evalúa tu comprensión tanto de funciones como de valor absoluto.
Primero, calculemos el valor de \(g(5)\).
\(g(5)=5^{3} -6(5)^{2}+5(5)-20\)
\(= 125 – 150 + 25 -20 = -20\)
Como el resultado es negativo, al quitar las barras de valor absoluto debemos multiplicar por \(-1\).
\(|-20| = -1(-20) = 20\)
Por lo tanto, el valor de \(| g(5) |) es 20.
Caso 3 (Cantidad de soluciones)
Explicación
El valor absoluto de cualquier expresión siempre es mayor o igual que 0. Para que el valor absoluto sea 0, la expresión dentro de las barras debe ser 0.
¿Qué valor de \(x\) hace que la expresión \(x + 6\) sea igual a 0? Solo \(-6\) funciona.
Por lo tanto, la ecuación tiene una sola solución: \(x = -6\)
Caso 4 (Encontrar las soluciones)
Explicación
Recuerda que, cuando una expresión con valor absoluto contiene una variable y una constante y la ecuación no es igual a cero, debes considerar dos casos: uno en el que la parte interior sea positiva, y otro en el que sea negativa.
- Caso 1: \(4x+5 \geq 0\)
\(| 4x + 5| = 4x + 5\)
\(4x + 5 = 9\)
\(4x = 4\)
\(x = 1\)
- Caso 2: (4x+5 < 0)
\(|4x + 5| = -(4x + 5) = -4x -5\)
\(-4x – 5 = 9\)
\(-4x = 14\)
\(x = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}\)
Ahora tenemos dos soluciones: \(p = 1\) y \(q = -\frac{7}{2}\). Para encontrar la suma, las combinamos:
\(1 + (-\frac{7}{2}) = \frac{2}{2} – \frac{7}{2} = -\frac{5}{2}\)
Por lo tanto, la suma de las soluciones es \(-\frac{5}{2}\).
Caso 5 (Ecuaciones con múltiples valores absolutos)
Explicación
Cuando un problema contiene más de un valor absoluto, el SAT normalmente los hace idénticos. Esto es intencional: si los valores absolutos fueran diferentes, el álgebra se volvería demasiado larga para un examen con límite de tiempo.
Una forma inteligente de resolver estos problemas es usando sustitución. Sustituye el valor absoluto repetido por una sola variable, por ejemplo \(a\), y realiza el álgebra como si fuera una ecuación normal. Luego, en el paso final, reemplaza nuevamente el valor absoluto original y resuelve para \(x\). Esto evita pasos complicados a mitad del cálculo y mantiene el proceso ordenado.
Comenzamos con: \(4|x+3|-|x+3| = 9\).
Sea \(a = |x+3|\).
\(4a – a = 9\) => \(3a = 9\) => \(a = 3\)
Ahora sustituimos de nuevo \(a = |x+3|\).
\(|x + 3| = 3\)
Como el valor absoluto contiene una variable, debemos considerar dos casos:
- Caso 1:
\(x + 3 = 3\) => \(x = 0\)
- Caso 2:
\(x + 3 = -3\) => \(x = -6\)
Por lo tanto, las soluciones son: \(x = 0\) and \(x = -6\).
Caso 6 (Función con valor absoluto)
Explicación
Se nos da la función \(f(x) = |x – 4|\), y queremos encontrar los valores de \(a\) que satisfacen la ecuación \(f(6)-f(a) = -2\).
Primero, calculamos \(f(6)\).
\(f(6) = |6 – 4| = 2\)
Luego, sustituimos \(f(6) = 2\) en la ecuación dada \(f(6) – f(a) = -2\):
\(2 – f(a) = -2\)
Aquí vemos que \(f(a)\) debe ser igual a \(4\) para cumplir la ecuación. Por lo tanto, el siguiente paso es encontrar los valores de \(a\) que hacen que \(f(a) = |a – 4| = 4\).
Dado que \(|a – 4|\) es una expresión de valor absoluto con una variable desconocida, debemos considerar dos casos:
Si \(a – 4 = 4\):
\(a = 8\)
Si \(a – 4 = -4\):
\(a = 0\)
Por lo tanto, los posibles valores de \(a\) son 0 y 8.
Preguntas de práctica
Pregunta 1
Pregunta 2
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